시그모이드 미분

6번 에서 $\sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}$ 를 구현했죠. 이제 미분 을 구합니다. 역전파(backprop) 수식의 기본 재료예요.

$\sigma'(z) = \sigma(z) \cdot (1 - \sigma(z))$

놀랍도록 간단 — 출력값만으로 미분이 표현 됩니다 (exp 재계산 불필요).

유도

$\sigma(z) = (1 + e^{-z})^{-1}$. 연쇄법칙: $\sigma'(z) = -(1 + e^{-z})^{-2} \cdot (-e^{-z}) = \frac{e^{-z}}{(1 + e^{-z})^2}$

$\sigma(z) \cdot (1 - \sigma(z))$ 로 바꿔쓰면 위와 같습니다.

성질

• $\sigma'(0) = 0.25$ — 최댓값
• $|z|$ 커질수록 $\sigma' \to 0$ — vanishing gradient 의 근원
• 항상 양수, 대칭 ($\sigma'(z) = \sigma'(-z)$)

과제

함수 sigmoid_prime(z) 를 완성하세요.

• 스칼라 또는 NumPy 배열 z 입력.
• 반환: 같은 shape의 미분값.
• 힌트: 먼저 $\sigma(z)$ 계산 → $\sigma \cdot (1 - \sigma)$.

테스트 케이스

#	이름	입력	기대
1	σ'(0) = 0.25	0	0.25
2	큰 값에서 0으로	10	≈ 4.5e-5
3	대칭성	σ'(z) = σ'(-z)	성립
4	벡터	[-1, 0, 1]	[0.197, 0.25, 0.197]
5	양수	모든 출력 > 0